0.   引言

锚杆钻车是矿井巷道作业主力装备之一，在矿井巷道掘进和锚固支护方面发挥着重要作用。我国钻机整体技术水平比较落后，存在定位精度低、定位速度慢等问题，严重制约巷道施工效率。研究锚杆钻车钻臂的自动精准定位问题，对实现矿用生产装备智能化、提高巷道施工效率有重要意义。

锚杆钻车钻臂为冗余多自由度结构，可保障作业的灵活性，但自由度的增加导致逆运动学求解复杂，降低了求解效率和精度。目前常用代数法和几何法求解机械臂运动学问题。代数法根据逆矩阵变换构建钻臂各关节变量与目标位姿之间的函数，但效率低，且存在无解或多解情况。几何法效率高，但对于不同的对象需构造不同的求解模型，通用性差。针对上述问题，许多学者将智能算法用于机械臂定位控制研究，如：李国江等^[1]使用多群协同进化方法补偿绳索牵引并联机器人末端定位偏差；吉阳珍等^[2]将改进的鲸鱼优化算法用于机械臂逆运动学求解，提高了求解精度和稳定性。在各种智能算法中，粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法用于求解机械臂运动学问题时具有编程简单、易于计算机实现、搜索性能强、容错性优等优点，有利于钻臂定位控制的稳定性。但PSO算法易陷入局部最优解，求解性能欠佳。对此，学者对PSO算法进行了改进，如：史也等^[3]提出了一种基于量子PSO（Quantum-behaved PSO，QPSO）算法的路径规划方法，通过规划机械臂关节角的运动，使基座姿态和机械臂末端姿态同时达到期望状态；刘洋^[4]通过多目标PSO（Multiple Objective PSO，MOPSO）算法实现了机器人位姿精准控制。上述算法应用于机械臂运动学求解时未考虑粒子初始位置状态，导致粒子初始状态不佳，且粒子间信息交流不充分，个体和全局最优粒子易陷入局部最优而无法跳出，使得算法整体寻优效率较低，寻优时间过长。

本文在精英反向PSO（Elite Opposition-based PSO，EOPSO）算法基础上进行改进，提出混沌交叉精英变异反向PSO(Chaotic Crossover Elite Mutation Opposition-based PSO，CEMOPSO)算法，并将其用于锚杆钻车钻臂定位控制，提高了钻臂逆向运动学求解的速度和精度，实现了锚杆钻车钻臂精准定位。

1.   锚杆钻车钻臂运动模型

锚杆钻车钻臂为八自由度机构，含6个回转关节（大臂摇摆关节、大臂俯仰关节、推进梁俯仰关节、推进梁摆动关节、推进梁回转关节、锚杆关节）和2个移动关节（大臂伸缩关节、推进梁伸缩关节），如图1所示。

图  1  锚杆钻车钻臂结构

1−大臂摇摆关节；2−大臂俯仰关节；3−大臂伸缩关节；4−推进梁俯仰关节；5−推进梁摆动关节；6−推进梁回转关节；7−锚杆关节；8−推进梁伸缩关节。

Figure  1.  Drilling arm structure of bolt drilling rig

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为简化钻臂坐标系的建立，分析钻臂基座到钻臂末端变换关系，利用D−H建立钻臂正向运动学模型^[5-9]。钻臂坐标系如图2所示，o₀x₀y₀z₀为基坐标系，o_ix_iy_iz_i(i=1，2，…，8)分别为大臂摇摆关节坐标系、大臂俯仰关节坐标系、大臂伸缩关节坐标系、推进梁俯仰关节坐标系、推进梁摆动关节坐标系、推进梁回转关节坐标系、锚杆关节坐标系和推进梁伸缩关节坐标系。

图  2  锚杆钻车钻臂坐标系

Figure  2.  Coordinates of drilling arm of bolt drilling rig

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根据D−H法，相邻2个关节坐标系之间的变换矩阵为

式中：θ_j为关节j的关节角；α_j为关节j所在杆件的扭转角；a_j为关节j所在杆件长度；d_j为关节j横距。

锚杆钻车钻臂的D−H参数见表1。

表  1  锚杆钻车钻臂D−H参数

Table  1.  D-H parameters of drilling arm of bolt drilling rig

关节	$ {\theta _j}/(^\circ ) $	$ {\alpha _j}/(^\circ ) $	$ {a_j}/{\rm{m}} $	$ {d_j}/{\rm{m}} $
1	[45，135]	90	0.30	0
2	[−150，−60]	−90	0	0
3	180	−90	0	[0，1.8]
4	[−120，−30]	−90	0.35	0
5	[−135，−45]	90	0	0
6	[−270，90]	−90	0.60	0.4
7	[−90，0]	90	0	0.8
8	90	−90	0	[0，2.5]

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将表1数据代入式（1），可得相邻2个关节坐标系之间的变换矩阵。由左乘法则联立各变换矩阵，得到钻臂末端（推进梁伸缩关节）坐标系相对基坐标系的位姿矩阵：

式中：$ {[{N_x},{N_y},{N_{\textit{z}}}]^{\rm{T}}} $，$ {[{O_x},{O_y},{O_{\textit{z}}}]^{\rm{T}}} $，$ {[{A_x},{A_y},{A_{\textit{z}}}]^{\rm{T}}} $分别为钻臂末端的法向向量、滑动向量和接近向量；$ [{L_x}, {L_y},{L_{\textit{z}}}]^{\rm{T}} $为钻臂末端相对于基坐标系的位置向量。

2.   CEMOPSO算法

2.1   EOPSO算法改进

采用PSO算法对锚杆钻车钻臂进行逆运动求解时，适应度函数为钻臂末端位姿与目标位姿的误差分析函数，即

式中：$ h( \cdot ) $为适应度函数；X_i为粒子i位置；P(X_i)为粒子i在位置X_i时的钻臂末端位姿；P_obj为钻臂末端目标位姿。

迭代时，设粒子i当前最优位置X_ibest=（e_i1，e_i2，…，e_iD），e_iD为粒子i在D维空间的当前最优位置，全局最优位置X_gbest=（e_g1，e_g2，…，e_gD），e_gD为D维空间的全局最优位置。粒子i的速度和位置更新公式为

式中：ω为惯性权重；V_i（t）为第t次迭代时粒子i的速度；c₁，c₂为学习因子；r₁，r₂为[0，1]的随机数；X_i（t）为第t次迭代时粒子i的位置。

EOPSO算法在PSO算法基础上，对群体内的最优粒子（即精英个体）进行反向学习，增加搜索的目的性，尽可能避免搜索的盲目性，从而以最快速度得到最优解。但该算法存在种群内粒子间信息交流不充分、易局部最优、收敛性差等问题^[5-7]。因此，将混沌初始化、交叉操作、变异操作和极值扰动引入EOPSO算法，提出CEMOPSO算法。

1） 混沌初始化。通过混沌映射空间对粒子群位置信息进行初始化，在不改变初始种群随机性的条件下，使得种群初始位置均匀分布在可行域内，提高种群初期多样性。

采用Logistic和Sinusoidal的复合混沌模型^[10-12]（式（6）），使粒子在设定空间内呈现混沌状态。

设粒子i的位置$ {{\boldsymbol{X}}_i} = ({{{e}}_1},{{{e}}_2}, \cdots ,{{{e}}_D}) $，e_D为粒子i在D维空间的位置，粒子i经过混沌映射变换后的初始位置$ {\boldsymbol{X}}_i^0 = ({{e}}_{i1}^0,{{e}}_{i2}^0, \cdots ,{{e}}_D^0) $，则

式中X_min，X_max分别为搜索空间内粒子位置最小值和最大值。

2） 交叉和高斯变异。第t次迭代时对粒子i的位置$ {{\boldsymbol{X}}_i}(t) $与其历史最优位置$ {{\boldsymbol{X}}_{i{\rm{best}}}}(t - 1) $进行离散相交^[13-15]，则交叉后粒子i位置${{\boldsymbol{X}}'_i}(t){{ =({{e}}}}_{i1}'(t),{{{{e}}}}_{i2}'(t), \cdots , {{{{e}}}}_{iD}'(t))$。交叉算法公式为

式中：b为交叉系数，取值为0~1；e_iJ（t）为第t次迭代时粒子i在J维空间的位置，J=1，2，…，D；e_iJbest（t）为第t次迭代时粒子i在J维空间的当前最优位置；k_c为交叉概率。

则更新后的粒子i最优位置为

为保证算法的求解精度，对交叉后的个体进行高斯变异，得

式中：$ {\boldsymbol{X}}_{i{\rm{best}}}^ {*}(t) $为粒子i变异后的最优位置；W_max，W_min分别为搜索空间的最大值和最小值；G为标准高斯分布。

更新后的粒子i最优位置为

3） 柯西变异。全局最优位置X_gbest引导群体朝向最优解。当X_gbest陷入局部最优时，群体搜索停滞，导致算法失效。采用柯西变异策略，以协助精英粒子跳出局部最优。全局最优位置变异值为

式中：cauchy(0，s（t）)为柯西分布表达式；s(t)为随迭代次数线性递减的柯西分布比例参数^[16-18]。

式中t_max为最大迭代次数。

更新后的全局最优位置为

4） 极值扰动。粒子种群具有趋同性，因此在算法后期，粒子飞行速度难以更新，导致难以发现更优位置。引入极值扰动避免粒子陷入停滞，速度更新公式为

式中r₃，r₄为[0，1]上均匀分布的随机数。

2.2   自适应参数控制

1） 交叉概率。在PSO算法中，交叉概率k_c过大会消除部分优秀个体，过小则影响算法收敛速度。为提高算法性能，采用自适应交叉概率：

式中：k_c1，k_c2分别为初始交叉概率最大值和最小值；$ h_{{\rm{max}}}' $为2个粒子进行交叉操作时的适应度最大值；h_avg为适应度平均值；h_max为适应度最大值。

2） 正态分布衰减惯性权重。惯性权重的取值直接影响算法性能。惯性权重应随迭代次数的增加而动态变化，即在迭代过程中由初期的较大值逐步线性减小。本文采取正态分布衰减的惯性权重：

式中：ω_min，ω_max分别为惯性权重最小值和最大值；σ为趋势参数，根据文献[19-20]可知最佳值为0.443 3。

3.   锚杆钻车钻臂定位控制流程

基于CEMOPSO算法的锚杆钻车钻臂定位控制流程如图3所示。

图  3  基于CEMOPSO算法的锚杆钻车钻臂定位控制流程

Figure  3.  Positioning control flow of drilling arm of bolt drilling rig based on chaotic crossover elite mutation opposition-based particle swarm optimization(CEMOPSO) algorithm

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1） 对种群进行混沌初始化，确定种群规模、自适应参数，并给定钻臂末端目标位姿。

2） 计算粒子个体适应度，确定个体最优位置和全局最优位置，其大小为钻臂当前位姿和目标位姿的误差。

3） 根据精英反向规则，计算精英个体的反向解。根据柯西变异公式，对精英个体实施柯西变异操作。

4） 根据交叉规则，对粒子个体实施交叉操作，并对交叉后的个体最优位置实施高斯变异操作。

5） 更新粒子个体最优位置和全局最优位置。

6） 根据式（5）和式（15）对粒子位置和速度进行更新。

7） 确定目标函数值是否达到收敛要求，若是则结束迭代，输出结果，否则重复步骤2），直至符合收敛要求。

4.   CEMOPSO算法性能测试

为检验CEMOPSO算法性能，分别从稳定性、精度、收敛速度3个方面，将其与PSO算法、EOPSO算法和交叉精英反向粒子群优化（Crossover Elite Opposition-based PSO，CEOPSO）算法进行对比。算法参数设置：种群规模为90，惯性权重最大值、最小值分别为0.9，0.6，限制速度为0.5，初始变异概率最小值、最大值分别为0.2，0.3，柯西分布比例参数初值为1。4种算法分别对4个标准测试函数（表2）执行20次，根据测试结果计算标准差和最优解，以此反映算法稳定性和求解精度，结果见表3。可看出CEMOPSO算法的稳定性和精度最优。

表  2  标准测试函数

Table  2.  Standard test functions

函数	维度	搜索范围	最优解
${f}_{1}(g)\text{=}{\displaystyle \sum _{r=1}^{n}{g}_{r}^{2} }$	30	[−100，100]	0
${f_2}(g) =\displaystyle \sum\limits_{r = 1}^n {\left| { {g_r} } \right|} + \prod\limits_{r = 1}^n {\left| { {g_r} } \right|}$	30	[−10，10]	0
${f_3}(g) = \displaystyle \sum\limits_{r = 1}^n {(\sum\limits_{q = 1}^n { {g_q}{)^2} } }$	30	[−100，100]	0
$\mathop f\nolimits_4 (g) = \max \{ \left| {\mathop g\nolimits_r } \right|,1 \leqslant r \leqslant n\}$	30	[−100，100]	0

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为便于直观分析各算法性能，随机选择其中1组测试结果进行曲线可视化比较，如图4所示。可看出在算法迭代初期，CEMOPSO算法与其他算法没有显著差别，但随着迭代次数增加，其收敛速度迅速增大，明显优于其他3种算法。

表  3  标准测试函数计算结果

Table  3.  Calculation results of standard test functions

函数	PSO算法	EOPSO算法	CEOPSO算法	CEMOPSO算法
$ {f_1}(g) $	标准差：$3.223\; 2 \times {10^{ { { - } }2} }$	标准差：$ 6.193\;9 \times {10^{{{ - }}2}} $	标准差：$2.925\;9 \times {10^{{{ - 6}}}}$	标准差：$2.870\;6 \times {10^{{{ - 18}}}}$
	最优解：$ 2.807\;2 \times {10^{{{ - }}2}} $	最优解：$ 2.979\;5 \times {10^{{{ - }}2}} $	最优解：$1.393\;2 \times {10^{{{ - 6}}}}$	最优解：$4.794\;3 \times {10^{{{ - 19}}}}$
$ {f_2}(g) $	标准差：$ 1.001\;8 \times {10^0} $	标准差：$ 1.255\;4 \times {10^0} $	标准差：$ 7.436\;1 \times {10^{{{ - }}2}} $	标准差：$5.045\;2 \times {10^{{{ - 13}}}}$
	最优解：$ 8.349\;6 \times {10^{{{ - }}1}} $	最优解：$ 8.012\;2 \times {10^{{{ - }}1}} $	最优解：$ 6.558\;2 \times {10^{{{ - }}2}} $	最优解：$1.479\;4 \times {10^{{{ - 13}}}}$
$ {f_3}(g) $	标准差：$ 39.100\;3 \times {10^0} $	标准差：$ 36.417\;4 \times {10^0} $	标准差：$ 34.092\;9 \times {10^0} $	标准差：$9.092\;9 \times {10^{{{ - }}2}}$
	最优解：$ 32.092\;9 \times {10^0} $	最优解：$ 31.565\;9 \times {10^0} $	最优解：$ 32.073\;7 \times {10^0} $	最优解：$7.686\;5 \times {10^{{{ - }}2}}$
$ {f_4}(g) $	标准差：$ 1.268\;5 \times {10^0} $	标准差：$ 1.820\;8 \times {10^0} $	标准差：$ 5.433\;3 \times {10^{{{ - }}1}} $	标准差：$1.683\;6 \times {10^{{{ - 3}}}}$
	最优解：$ 1.167\;1 \times {10^0} $	最优解：$ 1.035\;9 \times {10^0} $	最优解：$ 5.398\;9 \times {10^{{{ - }}1}} $	最优解：$1.327\;9 \times {10^{{{ - 3}}}}$

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图  4  标准测试函数进化曲线

Figure  4.  Evolution curves of standard test functions

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5.   钻臂定位控制建模与仿真分析

为验证基于CEMOPSO算法的锚杆钻车钻臂定位控制方法的可行性及效果，采用Matlab2020a软件进行仿真验证。

5.1   锚杆钻车钻臂模型

根据钻臂D−H参数在Matlab2020a中建立锚杆钻车钻臂模型，如图5所示。

图  5  锚杆钻车钻臂模型

Figure  5.  Drilling arm model of bolt drilling rig

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为便于观察锚杆钻车钻臂末端在空间中的运动范围，通过调节钻臂各关节变量来控制钻臂末端位姿。利用蒙特卡罗法绘制钻臂末端三维工作空间及其平面投影，如图6所示。

图  6  锚杆钻车钻臂末端工作区域

Figure  6.  Working area of drilling arm end of bolt drilling rig

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5.2   仿真分析

根据锚杆钻车钻臂末端位姿矩阵，采用欧拉角形式定义钻臂末端位姿：

式中：$ ({p_x},{p_y},{p_z}) $为钻臂末端目标位置坐标；$ (\beta ,\gamma ,\eta ) $为钻臂末端目标位置坐标系与基坐标系对应坐标轴的夹角。

针对4种算法，选取相同的初始参数进行仿真。针对多冗余自由度钻臂结构特点，为提高钻臂定位控制精度，取种群规模为300^[14-16]；惯性权重最大值、最小值分别为0.8，0.5。CEMOPSO算法采用正态分布衰减的惯性权重，限制速度为0.2。c₁，c₂均取1.5^[17]。初始交叉概率最大值、最小值分别为0.9，0.7；柯西分布比例参数初值为1，迭代次数为500。

4种算法的位置误差和姿态误差收敛曲线如图7所示。可看出在相同的迭代次数和误差精度约束条件下，无论是位置误差还是姿态误差，CEMOPSO算法从迭代初期即具有极快的收敛速度，收敛性能优于其他算法。

图  7  4种算法对钻臂定位控制的位置误差和姿态误差收敛曲线

Figure  7.  Convergence curves of position errors and posture errors of drilling arm positioning control by use of four algorithms

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在相同的约束条件下，采用4种算法重复进行多次钻车钻臂定位控制，结果如图8所示。可看出CEMOPSO算法的位置误差和姿态误差均小于其他算法，误差曲线较平稳，最大位置误差为0.005 m，最大姿态误差为0.005 rad，验证了该算法用于锚杆钻车钻臂定位控制时具有较好的性能。

图  8  4种算法对钻臂定位控制的位置误差和姿态误差曲线

Figure  8.  Position error and posture error curves of drilling arm positioning control by use of four algorithms

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实际工程应用中一般要求控制算法能够在指定精度下快速收敛^[21-22]。在相同定位精度下，4种算法的迭代次数如图9所示。可看出当设定位置误差为1 mm、姿态误差为0.01 rad时，PSO算法、EOPSO算法、CEOPSO算法、CEMOPSO算法的平均迭代次数分别为651，607，543，343 ；当设定位置误差为0.1 mm、姿态误差为0.001 rad时，PSO算法、EOPSO算法、CEOPSO算法、CEMOPSO算法的平均迭代次数分别为1 090，949，784，473，CEMOPSO算法的收敛速度最快，稳定性最佳，且求解精度越高，其优越性越突出。

图  9  4种算法在不同精度条件下的迭代次数

Figure  9.  Iteration times of four algorithms under different precision conditions

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6.   结论

1） CEMOPSO算法将混沌初始化、变异操作和交叉操作引入EOPSO算法，在保持初始种群多样性的基础上，增强了粒子个体之间的信息交流，平衡了算法局部搜索力和全局搜索力，使粒子个体能够更快地到达最优解，提高了算法的收敛速度和精度。

2） 将CEMOPSO算法应用于锚杆钻车钻臂定位控制可避免产生无解状态，且能够保证在满足定位精度要求下，改善求解速度和稳定性，提高钻臂定位效率，具有良好的工程实用价值。