Application research of improved K-means leave one out method in rejecting of abnormal samples of coal near infrared spectrum
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摘要: 针对现有留一校验法存在剔除异常样本耗时长、误判的缺陷，提出一种K均值改进留一校验法，并将其用于煤质分析中异常样本的检测与剔除。该方法首先利用K均值聚类法对样本进行聚类，得到可疑样本；然后将可疑样本作为验证集，通过留一校验法进行二次判别，剔除异常样本。实验结果表明，K均值改进留一校验法能快速、准确剔除异常样本，提高了模型的预测精度。Abstract: In view of problems of time-consuming, misjudgment of rejecting abnormal sample existed in current leave one out method, an improved K-means leave one out method was put forward for detecting and eliminating abnormal sample in coal quality analysis. Firstly, the method uses K-means clustering method to cluster samples, and gets suspicious samples; then it takes suspicious samples as a validation set, adopts leave one out method to do quadratic distinguishing, so as to eliminate abnormal samples. The experimental results show that the K-means leave one out method can eliminate abnormal samples quickly and accurately, and improves prediction accuracy of models.
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0. 引言
近年来，随着煤矿开采深度的不断增大，煤岩动力灾害日趋严重，成为威胁煤矿安全开采的主要因素之一[1]。煤岩动力灾害是煤岩体受载失稳破坏、大量能量集中释放的结果。能量以弹性能、电磁能、热能等多种形式释放[2]，从而产生声发射[3]、电磁辐射[4]、红外辐射[5]等地球物理信号。能量集中释放后，煤岩体内局部应力集中得到释放，表现为局部的应力降[6]，且相较于能量耗散，应力降更为直观，更易被监测和量化。因此，通过研究厘清煤岩破坏过程中能量耗散与应力降的关系，对利用应力降深入研究煤岩破坏特征及声发射、电磁辐射、红外辐射等地球物理信号变化规律具有现实意义。
近年来，国内外学者对煤岩能量耗散和应力降开展了一系列的研究。Peng Ruidong等[7]研究得出在常规三轴压缩状态下，煤样破坏能比与碎煤块的分形维数近似线性相关。张广辉等[8]研究了多级应力循环下强冲击倾向性煤样的耗散能演化特征，发现耗散能呈迅速降低
综上可知，目前国内外学者对煤岩能量耗散和应力降开展了广泛研究，但大多只是针对单方面的研究，未对两者之间的关系开展全面研究。针对该问题，本文通过对煤样进行单轴压缩实验，研究煤样受载破坏全过程中能量耗散指标（能量耗散速率、能量耗散量）和应力降指标（应力降速率、应力降）的演化特征，揭示两者之间的关系。研究结果可为全面利用应力降辅助研究煤岩破坏特征及地球物理信号变化规律提供一定的理论支撑。
1. 实验设计
煤岩单轴压缩实验系统采用YAW−600型微机控制电液伺服压力试验机，如图1所示。主机刚度>5 000 kN/mm，最大试验力为600 kN，载荷分辨力为3 N，位移分辨率为0.3 μm，控制器采样频率为1 000 Hz。原煤试样取自贵州省六盘水市某矿，通过钻芯、切割、打磨制成ϕ50 mm×100 mm的圆柱体煤样，分别编号为G1—G5。利用该实验系统对煤样进行单轴压缩实验，采用位移控制加载直到试样完全破坏，加载速率为5 μm/s，力学参数采样频率为100 Hz。
2. 煤样受载破坏能量耗散和应力降指标
通过2个相邻采样点的变化量除以时间间隔（0.01 s）可计算出瞬时最大能量耗散速率及应力降速率。以1 s为统计时长，逐个采样点进行滑动求取应力降和能量耗散量，采用曲线的极大值表征应力降及其对应的能量耗散量。通过逐点累计的方法求取累计能量耗散量和累计应力降。
2.1 能量耗散指标
根据文献[13-14]，煤体受载破坏过程中，在不考虑热交换的情况下，外部载荷产生的总能量U由2个部分组成，即耗散能和可释放的弹性应变能。
$$ U = {U^{\rm{d}}} + {U^{\rm{e}}} $$ (1) 式中：
${U^{\rm{d}}}$ 为耗散能；${U^{\rm{e}}}$ 为可释放的弹性应变能。在单轴压缩条件下，t时刻外部载荷产生的总能量
$ {U_t} $ 为$$ {U_t} = \int_0^{{\varepsilon _t}} {{\sigma _t}} {\text{d}}{\varepsilon _t} $$ (2) 式中
$ {\varepsilon _t} $ ，$ {\sigma _t} $ 分别为t时刻的总应变和应力。t时刻试样内可释放的弹性应变能
$U_t^{\rm{e}}$ 为$$ U_t^{\rm{e}} = \frac{1}{2}{\sigma _t}\varepsilon _t^{\rm{e}} = \frac{{\sigma _t^2}}{{2E}} $$ (3) 式中
$\varepsilon _t^{\rm{e}}$ ，E分别为t时刻可恢复的弹性应变和试样的弹性模量。由式（1）—式（3）可得t时刻试样耗散能
$U_t^{\rm{d}}$ 为$$ U_t^{\rm{d}} = \int_0^{{\varepsilon _t}} {{\sigma _t}} {\text{d}}{\varepsilon _t} - \frac{{\sigma _t^2}}{{2E}} $$ (4) 定义耗散能对时间的导数为能量耗散速率，即
$$ \delta U_t^{\rm{d}}{\text{ = }}\frac{{\partial U_t^{\rm{d}}}}{{\partial t}}{\text{ = }}\frac{{\partial \left( {\displaystyle\int_0^{{\varepsilon _t}} {{\sigma _t}} {\text{d}}{\varepsilon _t} - \dfrac{{\sigma _t^2}}{{2E}}} \right)}}{{\partial t}} $$ (5) 由式（4）可计算煤样在任意2个时刻t1和t2间的能量耗散量。设2个时刻对应的应力和应变分别为(
${\sigma _{t_1}},{\varepsilon _{t_1}}$ )和(${\sigma _{t_2}},{\varepsilon _{t_2}}$ )，则2个时刻间的能量耗散量为$$ \begin{split} U_{_{t_{1,2}}}^{\rm{d}}{\text{ = }}&{U_{t_2}}^{\rm{d}} - {U_{t_1}}^{\rm{d}} = \left( {\int_0^{{\varepsilon _{t_2}}} {{\sigma _t}} {\text{d}}{\varepsilon _t} - \frac{{\sigma _{t_2}^2}}{{2E}}} \right) - \\& \left( {\int_0^{{\varepsilon _{t_1}}} {{\sigma _t}} {\text{d}}{\varepsilon _t} - \frac{{\sigma _{t_1}^2}}{{2E}}} \right) = \int_{{\varepsilon _{t_1}}}^{{\varepsilon _{t_2}}} {{\sigma _t}} {\text{d}}{\varepsilon _t}{\text{ + }}\frac{{\sigma _{t_1}^2{{ - }}\sigma _{t_2}^2}}{{2E}} \end{split} $$ (6) 对于相邻2个采样点，设第1个采样点时刻为t0，则第2个采样点时刻为t0+0.01，根据式（6），两点间的能量耗散量为
$$ \begin{split} U_{{t_0}}^{\rm{d}}{\text{ = }}&U_{{t_0} + 0.01}^{\rm{d}} - U_{{t_0}}^{\rm{d}} = \int_{{\varepsilon _{{t_0}}}}^{{\varepsilon _{{t_{0}+ 0.01}}}{ }} {{\sigma _t}} {\text{d}}{\varepsilon _t}{\text{ + }}\frac{{\sigma _{{t_0}}^2{{ - }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^2}}{{2E}} = \\& \frac{{\sigma _{{t_0}}^{}{\text{ + }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^{}}}{2}\left( {\Delta \varepsilon {\text{ + }}\frac{{\sigma _{{t_0}}^{}{{ - }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^{}}}{E}} \right) \end{split} $$ (7) 式中∆ε为2个采样点间的应变差。
1 s的能量耗散量和累计能量耗散量以2个采样点间能量耗散量为单位进行累加。
根据式（5）和式（7），对于相邻2个采样点，能量耗散速率为
$$ \begin{split} {P_{E{t_0}}}{\text{ = }}&( {U_{{t_0} + 0.01}^{\rm{d}} - U_{{t_0}}^{\rm{d}}} )/0.01 = \\& 50( {\sigma _{{t_0}}^{}{\text{ + }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^{}} )\left( {\Delta \varepsilon {\text{ + }}\frac{{\sigma _{{t_0}}^{}{{ - }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^{}}}{E}} \right) \end{split} $$ (8) 2.2 应力降指标
相邻2个采样点间的应力降为
$$ {\sigma _{{t_0}}}{\text{ = }}{\sigma _{{t_0}}}{{ - }}{\sigma _{{t_0} + 0.01}} $$ (9) 由式（9）可知，在整个加载过程中，相邻2个采样点间的应力降存在负值的情况，为了更为全面地对应力降进行统计，1 s的应力降和累计应力降以2个采样点间应力降为单位，对正值进行累加。
根据式（9），对于相邻2个采样点，应力降速率为
$$ {P_{\sigma _{t_0}}}{\text{ = }}\left( {{\sigma _{{t_0}}}{{ - }}{\sigma _{{t_0} + 0.01}}} \right)/0.01 $$ (10) 3. 实验结果及分析
3.1 煤样受载破坏能量耗散及应力降特征
本文所采煤样质地坚硬，内部裂纹发育。以煤样G3为例，结合受载破坏过程中的应力降特征，对能量耗散特征进行分析。煤样G3受载破坏全过程的应力−时间曲线如图2所示，全过程大致分为4个阶段，即压密阶段、线弹性阶段、塑性阶段和破裂及其发展阶段，分别对应图中的A、B、C、D。煤样受载破坏全过程的能量耗散速率和应力降速率、能量耗散量和应力降、累计能量耗散量和累计应力降随时间变化情况如图3—图5所示。为了便于对比分析，根据图2，在图3—图5中标出了相应的4个阶段。
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图 3 能量耗散速率和应力降速率随时间变化情况Figure 3. Variation of energy dissipation rate and stress drop rate with time![]()
图 5 累计能量耗散量和累计应力降随时间变化情况Figure 5. Variation of cumulative energy dissipation and cumulative stress drop with time压密阶段。在外部载荷的作用下，煤样内部的孔隙、裂隙发生闭合，煤样被压实。此阶段会产生极少量的能量耗散，主要用于压实试样孔隙、裂隙闭合产生的塑性变形。从图3和图4可看出，在压密阶段，能量耗散速率、应力降速率、能量耗散量、应力降均几乎为零。从图5可看出，累计能量耗散量有极小幅度增长，而累计应力降无增长。
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图 4 能量耗散量和应力降随时间变化情况Figure 4. Variation of energy dissipation and stress drop with time线弹性阶段。从宏观上看，该阶段应力曲线是连续的，是线弹性的。压力机对试样所做的功几乎全部转换为弹性能积聚于试样内部，只有极少能量耗散于试样颗粒内部和颗粒间的滑移或断裂。从图3—图5可看出：同压密阶段一样，线弹性阶段无显著能量耗散和应力降产生，累计能量耗散量有极小幅度增长，截至该阶段末，累计能量耗散量占全过程能量耗散量的比值缓慢上升至3.1%。
塑性阶段。经历了线弹性阶段，煤岩中积聚了足够的能量，驱使已经产生的微裂纹迅速融合、贯通，煤样变形加速。从图2可看出，在75.703 s出现了该阶段最大应力降，对应图3和图4出现了该阶段最大能量耗散速率和应力降速率，分别为15.16 J/s和26.81 MPa/s；最大能量耗散量和应力降分别为1.22 J和2.03 MPa。在该应力降后，应力曲线伴随应力降振荡上升。从图5可看出，该阶段累计能量耗散量和累计应力降显著增大，并且在应力降发生时出现突增，截至阶段末，累计能量耗散量和累计应力降分别占全过程能量耗散量和应力降总量的比值为29.4%和17.6%。
破裂及其发展阶段。从图2可看出，在100.097 s试样达到最大应力12.75 MPa，在该阶段，大的裂隙互相汇合、贯通，煤体承载能力急剧下降，产生失稳破坏。对于脆性较大试样，该阶段伴随大量的应力降，并伴随有“噼啪”的断裂声，说明煤样剧烈破坏。从图3—图5可看出：此阶段在应力降发生时具有较大的能量耗散速率，能量集中释放，累计能量耗散量和累计应力降急剧上升。其中，106.494 s能量耗散速率和应力降速率出现最大值，分别为26.99 J/s和48.71 MPa/s；对应的能量耗散量和应力降也出现最大值，分别为1.49 J和2.68 MPa；最终累计能量耗散量和累计应力降分别为11.21 J和13.70 MPa。
虽然能量耗散指标和应力降指标对试样破坏响应较好，但两者随时间变化并不完全成比例，尤其是在峰后低应力水平，如图3中100.8 s的能量耗散速率大于135.1 s和136.6 s的能量耗散速率，而100.8 s的应力降速率却小于135.1 s和136.6 s的应力降速率，这一现象在图4中表现得更为明显。在图5中，在煤样受载破坏过程中，虽然累计能量耗散量和累计应力降变化趋势相同，且在显著应力降发生时都出现显著突增，但是突增后，即显著应力降后的应力回调或横向调整阶段，累计能量耗散量呈现显著的上升趋势，而累计应力降上升缓慢，呈“台阶”状，说明相对于能量耗散指标，应力降指标对试样显著破坏更为敏感，呈阵发特征，而对微小破坏的敏感程度不及能量耗散指标。
3.2 能量耗散与应力降之间的关系
由以上实验结果及分析可以看出，能量耗散指标和应力降指标对煤样受载破坏均具有较好响应，但也存在两者随时间变化并不完全成比例的现象。
由式（7）可知，相邻2个采样点间的能量耗散量由2个部分组成，即
$$ U_{{t_0}}^{\rm{d}}{\text{ = }}\frac{{\sigma _{{t_0}}^{}{\text{ + }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^{}}}{2}\Delta \varepsilon {\text{ + }}\frac{{\sigma _{{t_0}}^{}{\text{ + }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^{}}}{2}\frac{{\sigma _{{t_0}}^{}{{ - }}\sigma _{{t_0} + 0.01}^{}}}{E} $$ (11) 应力降主要与式（11）等号右侧第2项有关，且第2项与应力水平σt/σp（σp为峰值应力）和应力降乘积成正比。此外，针对图3中能量耗散速率的显著高值，对式（11）等号右侧第1项在能量耗散中的占比进行统计分析，结果如图6所示。可以看出，第1项在能量耗散中占比随能量耗散速率的增大而减小，呈幂指数关系，占比的最小值为0.43%。因此，能量耗散主要取决于式（11）等号右侧第2项，即正比于σt/σp和应力降乘积。
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图 6 式（11）第1项在能量耗散中的占比随能量耗散速率的变化情况Figure 6. Variation of the proportion of the first term in equation 11 in energy dissipation with energy dissipation rate分别对能量耗散与应力降、能量耗散与σt/σp和应力降乘积的关系进行分析。
3.2.1 能量耗散与应力降指标的相关关系
提取图3和图4中能量耗散速率与应力降速率、能量耗散量与应力降的显著极大值，结果如图7和图8所示。可以看出：煤样受载破坏能量耗散速率和应力降速率呈正相关，能量耗散量和应力降呈正相关；线性拟合结果显示，两者呈线性关系，拟合优度分别是0.9613和0.7735，斜率均约为1.72。
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图 7 能量耗散速率与应力降速率的关系Figure 7. Relationship between energy dissipation rate and stress drop rate采用与煤样G3相同的方法，对本组实验其他试样进行计算，结果见表1。可以看出，煤样能量耗散和应力降指标间呈显著的线性关系，其中，能量耗散速率与应力降速率的线性拟合优度平均值为0.982 5，能量耗散量与应力降的线性拟合优度平均值为0.912 6，斜率分别为1.395 7和1.445 3；在数值大小方面，能量耗散速率和应力降速率、能量耗散量和应力降均在一个数量级。在本组实验中，能量耗散和应力降呈显著线性关系的主要原因是大部分显著应力降出现在高应力水平，降低了式（11）第1项在能量耗散中的占比，同时削弱了σt/σp的影响。
表 1 能量耗散与应力降指标线性拟合结果Table 1. Linear fitting results of energy dissipation and stress drop index试样编号 能量耗散速率与应力降速率 能量耗散量与
应力降拟合优度 斜率 拟合优度 斜率 G1 0.996 8 0.935 2 0.978 7 0.974 4 G2 0.958 7 1.298 0 0.829 9 0.734 1 G3 0.961 3 1.721 4 0.773 5 1.719 4 G4 0.996 7 1.628 2 0.998 6 2.322 4 G5 0.998 9 1.395 7 0.982 2 1.476 1 平均值 0.982 5 1.395 7 0.912 6 1.445 3 3.2.2 能量耗散与σt/σp和应力降指标乘积的相关关系
对能量耗散指标与σt/σp和应力降指标乘积进行统计分析，结果如图9和图10所示。可以看出，相较于图7和图8，即应力降指标未乘以σt/σp时，拟合优度有了较大提升，其中能量耗散速率与应力降速率的线性拟合优度从0.961 3提升至1，增幅为4.03%；能量耗散量与应力降的线性拟合优度从0.773 5提升至0.993 9，增幅为28.49%。
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图 9 能量耗散速率与σt/σp和应力降速率乘积的关系Figure 9. Relationship between energy dissipation rate and product of σt/σp and stress drop rate![]()
图 10 能量耗散量与σt/σp和应力降乘积的关系Figure 10. Relationship between energy dissipation and product of σt/σp and stress drop对本组试样能量耗散指标与σt/σp和应力降指标乘积进行统计分析，结果见表2。
表 2 能量耗散与σt/σp和应力降指标乘积的线性拟合结果Table 2. Linear fitting results of energy dissipation and product of σt/σp and stress drop index试样编号 能量耗散速率与σt/σp
和应力降速率乘积能量耗散量与σt/σp
和应力降乘积拟合优度 斜率 拟合优度 斜率 C1 1 0.832 6 0.998 8 0.814 1 C2 1 1.120 4 0.996 7 0.591 2 C3 1 1.634 7 0.993 9 1.550 4 C4 0.999 8 2.391 2 0.999 4 3.160 5 C5 1 2.720 2 0.998 7 2.510 8 平均值 1 1.739 8 0.997 5 1.725 4 从表2可看出，能量耗散速率与σt/σp和应力降速率乘积的线性拟合优度平均值约为1，增幅为1.78%，能量耗散量与σt/σp和应力降乘积的拟合优度平均值为0.997 5，增幅为9.31%；斜率平均值分别为1.739 8和1.725 4。
综上可知，煤样在受载破坏过程中，其能量耗散指标与应力降指标整体呈线性关系，且两者在数值上处于同一数量级；σt/σp和应力降指标乘积与能量耗散指标线性拟合优度显著提升，呈高度线性关系；相较于能量耗散指标，应力降指标更为直观，可以将σt/σp和应力降指标乘积作为力学参数用于声发射、电磁辐射等地球物理信号变化规律的研究。
4. 结论
（1） 煤样受载破坏过程中，能量耗散指标与应力降指标对显著断裂均有较好响应，但两者随时间变化并不完全成比例。
（2） 能量耗散速率与σt/σp和应力降速率乘积、能量耗散量与σt/σp和应力降乘积拟合优度平均值分别为1和0.9975，相对于能量耗散指标与应力降指标拟合优度有显著提升。
（3） 更为直观的σt/σp和应力降指标乘积对试样显著破坏更为敏感，呈阵发特征，对电磁辐射、声发射等地球物理信号变化规律研究具有现实意义。
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