0.   引言

随着煤炭资源逐步进入深部开采阶段，煤与瓦斯突出等动力灾害日趋严峻及复杂，给煤矿安全高效开采带来严重的威胁与挑战^[1-3]。通过地球物理学方法对煤岩动力灾害进行监测预警是一种行之有效的方法^[4-5]，被越来越多地应用于煤与瓦斯突出的监测与防治工作中^[6-7]。前人的理论研究和现场实践表明，采动过程中监测到的各种地球物理信息是揭示煤岩损伤演化特征规律的关键^[8-11]。电位信号作为地球物理信息的一种，最初起源于地震^[12]，随后众多学者研究表明在不同煤岩材料破坏过程中都产生了电位信号^[13-15]，且与煤岩损伤演化具有高度相关性，在煤岩失稳破坏前呈现明显前兆信息^[16]。因此，电位法逐步被应用于煤岩动力灾害监测预警领域，取得了突出的成果^[17-18]。

煤岩电位信号本身包含了损伤演化的关键信息，其时序特征规律得到广泛研究。李忠辉^[19]对表面电位信号的R/S规律进行了分析，证明表面电位时间序列赫斯特指数大于0.5，表面电位呈逐渐升高的趋势。刘杰等^[20]应用多重分形理论分析表面电位时间序列，得出其存在多重分形特征，在较大尺度内满足标度不变性；不同尺寸的试样，表面电位信号多重分形谱呈右钩状。钮月^[21]研究了含瓦斯煤损伤破坏电位响应规律，发现电位信号时间序列具有多重分形特征与临界慢化特征，多重分形参量及方差可作为监测含瓦斯煤失稳破坏的时序前兆信息。现有研究多基于盒维数法计算分析电位时序信号的多重分形特征^[22-23]，只在单一时间维度对电位时序信号的波动特征进行研究，对其非线性、多尺度特征变化规律缺乏深入研究。

多重分形趋势波动分析(Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，MFDFA)法 ^[24-25]及其改进方法−多尺度多重分形(Multiscale Multifractal Analysis，MMA)法 ^[26]已被应用到生命科学与医学领域，取得了较好效果^[27-28]。本文应用MMA法对原煤和辉长岩的多个通道电位信号时间序列进行研究。由于观察到同一通道时序电位信号在裂纹闭合阶段、微裂隙发展阶段的信号波动与非稳定破裂及之后阶段具有显著不同，而不同通道的各阶段信号波动却具有一定相似性，所以将时间序列以裂隙萌生阶段为界分为前后2期，研究分析前后时期与总体时间序列在不同尺度上的长程相关性及不同通道间时序电位信号的相关性，探索不同通道时间序列的多尺度非线性演化规律，从而全面地把握其时序特征；同时，根据已知材料非线性演化规律预估未知信号的演化特征，从而实现预测煤岩失稳破坏的目的。

1.   多尺度多重分形法

定义一个长度为N的时间序列x_i，计算累计和：

以一个整数s作为划分尺度对时间序列进行划分，分段数为

对分段后每一段内的累计和y_j（j为每一段内的数据序号）进行拟合，并用实际值y_j减去对应的拟合值y_j^(k)（k为拟合多项式最高阶数），即去趋势处理，得

式中n为各段序号。

计算s尺度下第n段去趋势处理后数据的总体均方差：

通过总体均方差计算每段数据q阶的平均波动：

当s和q确定时，式(5)可表示为

式中H(q)为广义赫斯特指数。

对式(6)取对数，可作出多条不同$q $值对应的拟合线，拟合线斜率即为该阶数下的赫斯特指数H(q)。将H(q)转换为质量指数，再求导转换为奇异性指数α和奇异维数D_q，得到与盒维数法结果相同的多重分形谱，此即MFDFA法。

MMA法在MFDFA法的基础上，将拟合分析细化到各个尺度s，能够考察到各个尺度对时间序列赫斯特指数的影响，改善了MFDFA法只能分析单个尺度的缺陷，得到的结果h($q $，s)即为局部赫斯特指数。由于局部赫斯特指数是与s和$q $相关的量，所以可作出曲面来表征其与s和$q $的对应关系，此即赫斯特曲面。

2.   单轴加载实验

2.1   试样

实验选择原煤和辉长岩2种试样，均为50 mm×50 mm×100 mm的普通长方体标准试样，采用细砂纸打磨，使其平整度误差低于0.02 mm，其物理力学特性见表1。将2种试样用于单轴压缩实验，同步测试其损伤破坏过程中的电位信号响应。

表  1  原煤与辉长岩物理力学特性

Table  1.  Physical and mechanical properties of row coal and gabbro

试样	密度/ (g·cm−3)	弹性模量/GPa	峰值强度/MPa
原煤	1.19	2.00	14.55
辉长岩	2.92	14.84	75.22

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2.2   实验系统

单轴压缩实验系统如图1所示。加载系统采用Y4306型3 000 kN压力实验机，该系统由压力机主机、加载控制箱、计算机和PowerTestV3.3控制程序组成，可开展单轴加载实验。表面电位信号采集系统由COBWEB−DAU型便携式多通道电位信号监测仪、伺服控制器及前端放大器等组成，最多可支持16个通道的电位信号实时采集和记录，各个通道的最高采样频率可达100 kHz。前端放大器共包含50倍、100倍、200倍及500倍4个数据放大档位，可根据实验要求进行设定。为更好地记录电位信号细节信息，每个通道前端放大器放大倍数统一设为150，采样频率均设为195 Hz。

图  1  单轴压缩实验系统

Figure  1.  Uniaxial compression experimental system

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2.3   实验步骤

选用大小为15 mm×15 mm的电极片，用石墨胶将电极粘贴在煤样上，静置一段时间，使其达到表面电位平衡。加载前，先对表面电位测试系统进行调试，确保实验前表面电位平稳。试样与压头用绝缘纸隔离，防止因压头带电对电位信号采集产生干扰。为保证不同试样的初始应力相同，单轴加载前为试样施加1 kN预应力。上述步骤全程在电磁辐射屏蔽室内进行，待完成准备工作后，开始进行单轴加载，直至试样破坏。不同试样电位信号均选用1号和2号通道作为采集通道。

3.   实验结果分析

3.1   电位时序信号响应

对试样进行压缩破坏实验，得到煤岩破裂表面电位时序信号，如图2所示。可发现不同试样前后期的信号波动特性显著不同。

图  2  原煤和辉长岩电位时序信号

Figure  2.  Time series of potential signal of raw coal and gabbro

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原煤作为一种多孔介质材料，相比于辉长岩，在裂纹闭合阶段的信号波动更为剧烈，表现出强烈的非线性特征。当试样进入裂纹扩展阶段后，二者的电位信号波动变得更为明显，并且伴随着小破裂的发生，出现了局部应力下降。辉长岩的电位信号总体趋势逐渐增大，而原煤电位信号由于非线性特征更强，时序信号类似于随机游走，很难发现二者之间有哪些本质区别及各自特征，这制约了对不同材料电位时序信号的深入理解，需要应用多重分形理论进行解释。而由于原煤和辉长岩时序信号长度不同，为确保方法的普适性，针对不同试样进行计算时，各参数的选取随时序信号长度等比例扩大或缩小。

3.2   MFDFA法计算结果

使用MFDFA法对各个时期的时间序列进行计算，得到原煤和辉长岩的多重分形谱，如图3和图4所示。

图  3  原煤各通道多重分形谱

Figure  3.  Multifractal spectrum of raw coal channels

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图  4  辉长岩各通道多重分形谱

Figure  4.  Multifractal spectrum of gabbro channels

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图3和图4中所有通道的总体时间序列都表现出右钩状的多重分形谱曲线样式，这是典型的煤岩电位信号时间序列特征^[20]，其奇异性指数α的起始值都在1.0左右，奇异维数D_q的峰值都在1.0左右。但相比于原煤，辉长岩的α值跨度较小，并且各通道前期时间序列的多重分形谱曲线普遍比较陡峭，后期则变得平缓。原煤不同通道的多重分形谱表现各不相同，通道1各时期多重分形谱曲线变化趋势与辉长岩表现相似，但通道2却与之相反，前期的曲线更为平缓，后期却反而陡峭。

辉长岩不同通道各时期的多重分形谱曲线具有相似的变化趋势，而原煤不同通道结果各不相同，表明多重分形谱虽然能够在一定程度上表征原煤和辉长岩的非线性演化特征差异，但是难以定量描述其差异并指出差异是如何引起的，需要MMA法来予以解释。

3.3   MMA法计算结果

使用MMA法对各个时间序列进行计算，得到赫斯特曲面，如图5−图8所示。可看出各时期电位信号的赫斯特曲面都有一部分相似于总体赫斯特曲面，但不同试样及不同通道的具体表现有所不同。

图  5  原煤通道1前后期及总体赫斯特曲面

Figure  5.  Hurst surface of early, late and overall stage of raw coal's channel 1

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图  6  原煤通道2前后期及总体赫斯特曲面

Figure  6.  Hurst surface of early, late and overall stage of raw coal's channel 2

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图  7  辉长岩通道1前后期及总体赫斯特曲面

Figure  7.  Hurst surface of early, late and overall stage of gabbro's channel 1

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图  8  辉长岩通道2前后期及总体赫斯特曲面

Figure  8.  Hurst surface of early, late and overall stage of gabbro's channel 2

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在赫斯特曲面上，原煤不同通道的后期时序信号显现出强烈的一致性，其相比于前期信号更相近于总体，并且曲面变化趋势都是总体平缓，但在q接近0附近和全尺度上缓慢增加，直至取得峰值，呈“山脊”状。而不同通道的前期时序信号赫斯特曲面则呈现出有规律的差异：通道1前期与总体的不同在于，当q取较大正值和大尺度时，其赫斯特曲面取得峰值；而通道2则是在q取较小负值和大尺度时，赫斯特曲面取得峰值。阶数 $ q $ 和尺度s能够体现出大小信号在各种时间尺度下的分布规律，因此能够具体说明是哪部分的大小信号最终导致了赫斯特曲面的不同，结果相比于多重分形谱更为明晰。

辉长岩2个通道均是前期与总体的赫斯特曲面更加相似，但曲面起伏趋势有所不同。通道1赫斯特曲面表现为总体平缓，在全体 $ q $ 阶和大尺度时缓慢增大并取得多个峰值；通道2总体也较为平缓，但在q取较小负值和大尺度时陡然增大并取得峰值。而2个通道后期赫斯特曲面却表现出相似性，都在较小−$ q $ 阶和中等尺度时增大并达到峰值。

4.   讨论

从图（2）可看出，辉长岩2个通道的电位信号均具有总体增大趋势，而原煤不同通道的电位信号变化趋势各不相同，表明原煤具有更强的非均质性和损伤局部化特征，使得其不同通道的时序信号具有更强的非线性演化特征。这种非线性特征在多重分形谱上体现为不同时期的奇异性指数差异Δα大小及正负性不同。而原煤和辉长岩不同时期的多重分形曲线变化趋势也的确表现出明显差异，表明其时序信号的非线性演化特征在裂纹萌生前后获得了发展。

Δα能够表征大小信号出现的频率^[20]，由于试样都具有一定的局部损伤演化特征，对于同一试样，不同通道所采集的电位信号前后期与总体时间序列的Δα变化趋势理应具有差异，但对于具有更强均质性的材料及更强线性演化特征的时序信号来说，不同通道的Δα大小及正负性变化应更加一致，这一点在辉长岩上得到了体现。相较于原煤，辉长岩不同通道前后期与总体时序信号的Δα变化趋势一致，其大小较为接近，均是前期为正，后期为负，表明辉长岩具有更强的均质性，使得不同通道采集到的电位时序信号具有更相似的非线性演化特征。而原煤不同通道各时期则呈现不同的变化趋势，通道1的Δα前期为正，后期为负；通道2则是前后期均为负，不仅如此，其Δα也普遍比辉长岩大，表明原煤具有更强的局部损伤演化特征，使得不同通道采集到的电位信号具有更强的非线性演化特征。然而对于原煤电位信号，尽管能够以Δα变化趋势来表征其比辉长岩具有更强的非线性特征，但这种解释过于模糊，既不能说明其非线性特征的强烈程度，也不能提取出不同试样非线性演化特征的特性，但这些问题通过赫斯特曲面得到了解决。

原煤不同通道信号各时期的赫斯特曲面均为“山脊”状，并均是后期赫斯特曲面更接近于总体赫斯特曲面。曲面上的局部赫斯特指数具有表征时间序列长程相关性的性质^[19]，而原煤不同通道的时序信号经MMA法得到的局部赫斯特指数变化大致相似，表明该方法能够归纳出原煤在受载破坏时不同通道时序信号非线性演化特征的一致特性，这能够将不同通道的时序电位信号联系起来，从而更好地对煤岩电位信号非线性响应特征进行精细化识别和分析。辉长岩不同通道各时期的时序信号在多重分形谱中就已显现出一致的趋势，其在赫斯特曲面上仍然保留着这一特点，再次印证了辉长岩时序信号比原煤更为线性的演化特征。

为了量化不同通道各时期赫斯特曲面的变化趋势，定义曲面L2范数：

式中m为曲面上局部赫斯特指数的数量；h_r（q，s）为第r个局部赫斯特指数。

不同通道各时期L2范数见表2，d₁为前期L2范数，d₂为后期L2范数，d₀为总体L2范数。可看出原煤和辉长岩不同通道各时期L2范数比值各自具有独特的变化趋势。原煤各通道均是前期较大，为108.02%，110.49%，后期较小，为102.14%，93.91%；辉长岩则是前期较小，为92.69%，96.44%，后期较大，为108.82%，110.04%。这表明由于岩性不同导致压裂破坏时的电位信号非线性演化特征不同，从而引起的试样L2范数比值不同与试样种类具有对应关系。因此，可通过L2范数比值关系对时序信号进行分类，识别是何种材料产生的电位信号。而对于已知材料，则可通过这种比值关系，监测时序信号L2范数比值的变化，从而对失稳破坏进行预警。

表  2  不同通道各时期L2范数

Table  2.  L2 norms of different periods in different channels

通道	d1	d2	d0	L2范数比值/%
				d1/d0	d2/d0
原煤通道1	16.16	15.28	14.96	108.02	102.14
原煤通道2	16.32	13.87	14.77	110.49	93.91
辉长岩通道1	15.35	18.02	16.56	92.69	108.82
辉长岩通道2	15.46	17.80	16.03	96.44	110.04

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对于矿井安全生产，可先通过实验测得矿井煤岩壁材料压裂破坏时序电位信号前后期与总体的局部赫斯特指数的L2范数比值，然后布置电极监测煤岩壁电位信号。采集不少于16 000个电位信号^[26]，并根据采样频率计算数据采集需要的时间t₁。取0~t₁内的电位数据作为基准数据，使用MMA法计算其L2范数d₁。随着时间推移继续采集电位数据至t₂（t₂=2t₁）时刻，计算0~t₂内电位信号的L2范数d₂和d₀，并将d₁、d₂与d₀比较，若d₁/d₀和d₂/d₀的增减趋势相似于实验材料时序信号前期的d₁/d₂，则可判断煤岩壁正在缓慢失稳。持续监测其电位信号，将实时时刻定为t₂，t₂的中值时刻定为t₁，持续计算d₁/d₀和d₂/d₀，当比值接近于实验材料时发出预警，即可监测预警煤岩动力灾害的发生。若是初次计算的d₂/d₁趋势与实验材料的表现相反，则说明实际现场数据量不足，将初始的t₂置为t₁，重复选择t₂进行监测即可。这为凭借时序信号非线性演化特征监测预警煤岩动力灾害提供了新的视角和方法，具有积极意义。

5.   结论

1） 原煤和辉长岩各通道时序信号都具有多重分形特征，裂隙萌生期前后的时序信号也各自具有多重分形特征，不同试样各时期信号的多重分形特征与总体信号具有典型差异。辉长岩不同通道信号的奇异性指数差异Δα具有更相似的变化趋势，而原煤的Δα变化趋势不同，表明辉长岩时序信号具有更强的线性演化特征。

2） 赫斯特曲面能够展现出试样在多尺度下不同通道电位时序信号的非线性演化特征，这种非线性演化特征能够以局部赫斯特指数的L2范数比值来量化，而比值大小与煤岩种类具有对应性。因此，通过局部赫斯特指数的L2范数能够对煤岩电位信号进行分类；而对于已知材料的时序信号，可凭借部分信号预估其破坏时L2范数大小，从而实现对煤岩失稳破坏的预警。